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SESSION: GUEST_INTERACTIVE // DeepSeek - 探索未至之境

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ACTIVE_MODEL: deepseek-reasoner (R1)

STREAM: ACTIVE (34 TOKENS/S)

请给出证明：在任意有限阿贝尔群 G 中，若元素 a 的阶为 m，元素 b 的阶为 n，且 gcd(m, n) = 1，则元素 ab 的阶必为 mn。

[THINKING LOG] 思考链追踪：
1. 设 k = ord(ab)。因 G 为阿贝尔群，(ab)^(mn) = (a^m)^n * (b^n)^m = e * e = e，因此 k 必须整除 mn。
2. 需反向证明 mn 整除 k。计算 (ab)^k = e => a^k * b^k = e => a^k = b^(-k)。
3. (a^k)^m = (b^(-k))^m => e = b^(-km) => n 整除 km。由于 gcd(m, n)=1，根据欧几里得引理，n 必整除 k。
4. 同理可证 m 必整除 k。因为 gcd(m, n)=1，最小公倍数 lcm(m, n) = mn 必整除 k。综上 k = mn。

定理证明完毕：利用阿贝尔群的可交换性与最大公约数互质性，严格确立了 ord(ab) = mn 的充要推导链条。

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FIG. 03 // COT INFERENCE WORKBENCH LAYER: SEC_WEB_UI